\chapter{半角公式的历史源流与发展演变}

\date{2025.08.26}
	
	\begin{abstract}
		半角公式作为三角学中的一组核心恒等式，其发展历程跨越了千年，清晰地反映了数学从具体几何问题向抽象符号系统演化的历史轨迹。本文旨在梳理半角公式从古希腊的几何起源，历经印度与伊斯兰世界的算法化与系统化，直至在欧洲完成符号化与形式化的完整发展脉络。文章通过分析不同历史时期的关键人物及其贡献，阐明半角公式如何从一个解决实际测量问题的几何工具，最终演变为现代数学分析中不可或缺的抽象组成部分。
		\par\textbf{关键词：} 半角公式；三角学；数学史；托勒密；欧拉
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	半角公式，即表达角的正弦、余弦、正切值与其半角三角函数值之间关系的恒等式，是现代数学与工程学中的基础工具。其最常见形式如下：
	\begin{align*}
		\sin\frac{\theta}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} \\
		\cos\frac{\theta}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} \\
		\tan\frac{\theta}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}
	\end{align*}
	这些简洁的代数符号背后，蕴藏着一段跨越古典文明、融合东西方智慧的悠久历史。本研究旨在追溯这一公式的源流，揭示其从直观几何到抽象代数的演变过程。
	
	\section{古希腊的几何学起源}
	半角公式的思想雏形最早可追溯至古希腊天文学家与数学家，其核心动力源于天文学计算和测量学的实际需求。
	
	\subsection{核心问题}
	古希腊学者虽无现代正弦（sine）、余弦（cosine）之概念，但其“弦长”（chord）概念与之等价。设圆心角 $\theta$ 对应弦长 $\text{crd}(\theta)$，则有 $\text{crd}(\theta) = 2R \sin\frac{\theta}{2}$，其中 $R$ 为圆半径。因此，求半角对应的弦长，本质上等价于求解半角正弦值。
	
	\subsection{关键人物与贡献}
	\begin{itemize}
		\item \textbf{希帕霍斯（Hipparchus，约公元前190–120年）}：被誉为“三角学之父”，他制作了已知最早的弦表。为完成此表，他必须解决如何从已知角的弦长推导其半角弦长的问题，这实质上已触及半角公式的几何内核。
		\item \textbf{托勒密（Ptolemy，约100–170年）}：在其巨著《天文学大成》中，他运用著名的\textbf{托勒密定理}，通过构造圆内接四边形并辅以勾股定理，几何化地推导出了“弦长差公式”。在这一过程中，他明确给出了求解半角弦长的几何方法，其推导结果与现代半角公式在数学上完全等价。
	\end{itemize}
	
	此时期的“公式”完全以几何定理和文字叙述的形式存在，是解决具体问题的工具，尚未形成抽象的代数表达。
	
	\section{印度与伊斯兰世界的算法化与系统化}
	中世纪，三角学的中心东移，经印度至伊斯兰世界，完成了从“全弦”到“半弦”的关键过渡，并逐渐系统化。
	
	\subsection{印度的“半弦”革命}
	印度数学家，如\textbf{阿耶波多（Āryabhaṭa）}和\textbf{婆什迦罗（Bhāskara）}，引入了“jyā”（相当于半弦，即现代正弦）和“koṭijyā”（余矢，后发展为余弦）的概念。他们将半弦与半角直接关联，其思想更贴近现代观念。为满足精密天文计算之需，他们发展出了包含半角关系在内的各种三角恒等式的数值算法和插值法。
	
	\subsection{伊斯兰黄金时代的系统整理}
	伊斯兰学者继承并融合了希腊与印度的成果，将其推向高峰。
	\begin{itemize}
		\item \textbf{阿尔·巴塔尼（al-Battānī）}、\textbf{阿布·韦法（Abū al-Wafā' Būzjānī）}等人制作了更精确的正弦、正切表。
		\item 阿布·韦法在其著作中，已能\textbf{明确地用文字叙述所有半角公式}，并提供了证明，使其成为三角计算中的标准法则。
		\item \textbf{纳西尔·丁·图西（Nasīr al-Dīn al-Tūsī）}在《论四边形》中，首次将三角学确立为一门独立于天文学的数学学科，并对包括半角公式在内的定理进行了系统性的整理与阐述。
	\end{itemize}
	
	在此阶段，半角公式已从具体的几何证明中抽象出来，成为一套通用的计算规则，但其表达仍依赖于文字，缺乏代数符号。
	
	\section{欧洲的符号化与形式化}
	文艺复兴时期，欧洲数学家吸收了东方知识，最终完成了三角学的符号化革命，半角公式也随之呈现出现代面貌。
	
	\subsection{传播与初期符号化}
	希腊与阿拉伯著作被译为拉丁文，三角学知识在欧洲广泛传播。\textbf{雷格蒙塔努斯（Regiomontanus）}的《论各种三角形》是欧洲首部独立的三角学著作。
	
	\subsection{韦达的代数表述}
	\textbf{弗朗索瓦·韦达（François Viète）}是代数学符号化的关键人物。他系统性地使用字母表示已知数和未知数，从而能够将三角恒等式用简洁的代数式表达。他首次能够写出诸如 $\sin(\theta/2)$ 与 $\sqrt{(1-\cos\theta)/2}$ 之间关系的近似形式。
	
	\subsection{欧拉的最终奠基}
	\textbf{莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）}是三角学现代形式的最终奠基者。其在18世纪著作《无穷小分析引论》中的贡献具有决定性意义：
	\begin{itemize}
		\item 将三角函数明确定义为\textbf{数值比值}，而非圆中的线段，使其彻底脱离几何束缚。
		\item 确立了使用符号 $\sin$, $\cos$, $\tan$ 及其现代含义。
		\item 引入了著名的\textbf{欧拉公式}：
		\[ e^{ix} = \cos x + i\sin x \]
		由此公式出发，所有三角恒等式（包括倍角、半角、和差化积）都可通过简单的代数运算导出，展现了无与伦比的威力与简洁性。例如：
		\[ \cos\theta = e^{i\theta} + e^{-i\theta} \]
		可轻易推导出半角公式。
	\end{itemize}
	
	至此，半角公式彻底完成了其形式化进程，融入了现代分析学的宏大体系。
	
	\section{结论}
	半角公式的发展史，是一部微观的数学进化史。它始于古希腊学者为解决具体天文测量问题而进行的几何探索，历经印度与伊斯兰世界数学家的算法化与系统化整理，最终在欧洲凭借代数学的符号革命和分析学的深刻思想，得以用最简洁、抽象和有力的形式呈现。
	
	这一历程不仅揭示了数学知识累积与跨文化传播的特点，也体现了人类思维从直观具体逐渐迈向抽象一般的伟大进程。从托勒密的几何定理到欧拉的分析公式，半角公式的演变是数学思想不断深化和升华的完美例证。
	
	\begin{thebibliography}{99}
		\bibitem[1]{b1} Katz, V. J. (2008). \emph{A History of Mathematics: An Introduction} (3rd ed.). Addison-Wesley.
		\bibitem[2]{b2} Maor, E. (1998). \emph{Trigonometric Delights}. Princeton University Press.
		\bibitem[3]{b3} Boyer, C. B., \& Merzbach, U. C. (2011). \emph{A History of Mathematics} (3rd ed.). Wiley.
		\bibitem[4]{b4} 梁宗巨 (1995). 《数学历史典故》. 辽宁教育出版社.
	\end{thebibliography}
	